Κεφάλαιο 6
Το Θαυμαστό Θεώρημα

Σύνοψη
Στο Κεφάλαιο αυτό αποδεικνύουμε ένα από τα δύο κεντρικά θεωρήματα της θεωρίας επιφανειών (το άλλο είναι το Θεώρημα των Gauss-Bonnet). Το θεώρημα αυτό είναι γνωστό ως Θαυμαστό Θεώρημα (Theorema Egregium) και αποδείχτηκε απο τον Johann Carl Friedrich Gauss το 1828. Ο Gauss εντυπωσιάστηκε από το γεγονός ότι η καμπυλότητα μιας επιφάνειας, αν και ορίζεται ως μέγεθος το οποίο εξαρτάται από τον τρόπο που βλέπουμε την επιφάνεια εξωτερικά, τελικά εξαρτάται μόνο από την εσωτερική γεωμετρία της επιφάνειας, δηλαδή την μετρική. Με άλλα λόγια, η καμπυλότητα Gauss είναι μια ισομετρική αναλλοίωτη.

Στο Κεφάλαιο 5 είδαμε ότι η καμπυλότητα Gauss σε οποιοδήποτε σημείο μιας επιφάνειας M δίνεται από τη σχέση K = 2 -eg---f-- EG - F 2, δηλαδή εξαρτάται τόσο από την πρώτη όσο και από τη δεύτερη θεμελιώδη μορφή. Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι για να διαπιστώσουμε την κύρτωση μιας επιφάνειας, πρέπει να την παρατηρήσουμε από μακριά.

Αυτό το οποίο απέδειξε ο Gauss και το θεώρησε ως Θαυμαστό Θεώρημα (Theorema Egregium) είναι ότι η ποσότητα eg - f2 είναι δυνατόν να εκφραστεί συναρτήσει των ποσοτήτων E,F,G (εσωτερικές ποσότητες της επιφάνειας), αν και από μόνες τους οι ποσότητες e,f,g δεν είναι εσωτερικές ποσότητες της επιφάνειας. Συνεπώς, η καμπυλότητα Gauss μιας επιφάνειας μπορεί να πιστοποιηθεί (μετρηθεί) από έναν παρατηρητή ο οποίος βρίσκεται επάνω στην επιφάνεια και όχι εκτός αυτής. Το αποτέλεσμα αυτό του Gauss χρησιμοποίησε αρκετά αργότερα ο μαθητής του Georg Friedrich Bernhard Riemann, προκειμένου να ορίσει έννοια καμπυλότητας σε έναν χώρο οποιασδήποτε διάστασης, γνωστός σήμερα ως λεία πολλαπλότητα. Για περισσότερες πληροφορίες προτείνουμε τα βιβλία [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9].

Προαπαιτούμενη γνώση
Διαφορικός Λογισμός μιας και πολλών μεταβλητών, Γραμμική Άλγεβρα.

Η διατύπωση του θεωρήματος έχει ως εξής:

Θεώρημα 6.1: (Θαυμαστό Θεώρημα – Theorema Egregium) ΄Εστω M μια κανονική επιφάνεια του ℝ3. Τότε η καμπυλότητα Gauss K της M καθορίζεται πλήρως από την πρώτη θεμελιώδη μορφή. Ισοδύναμα, η καμπυλότητα Gauss παραμένει αναλλοίωτη, όταν η επιφάνεια παραμορφώνεται χωρίς τέντωμα.

Κάποια άμεσα συμπεράσματα είναι τα εξής:

Πόρισμα 6.1: Εάν δύο επιφάνειες είναι τοπικά ισομετρικές, τότε οι καμπυλότητες Gauss στα αντίστοιχα σημεία τους είναι ίσες.

Πόρισμα 6.2: Δεν υπάρχει τοπική παραμέτρηση της σφαίρας S2 η οποία να διατηρεί τις αποστάσεις. Ισοδύναμα, δεν είναι δυνατόν να γίνει ένα κομμάτι της σφαίρας επίπεδο, ώστε τα μήκη να διατηρούνται.

Απόδειξη. ΄Εστω ότι υπάρχει μια τοπική παραμέτρηση X : U ⊂ ℝ2 → S2 η οποία να είναι ισομετρία. Τότε η καμπυλότητα Gauss του επιπέδου και της σφαίρας θα ήταν ίσες. Αλλά γνωρίζουμε ότι για την σφαίρα η καμπυλότητα Gauss είναι σταθερή K = 1≠0, που είναι η καμπυλότητα του επιπέδου. ▄

Απόδειξη του Θεωρήματος 6.1. Θυμίζουμε ότι η καμπυλότητα Gauss ορίζεται ως η ορίζουσα του τελεστή σχήματος της επιφάνειας, άρα θα πρέπει να εκφράσουμε την ορίζουσα αυτή συναρτήσει των E,F,G. ΄Εστω X : U → M μια τοπική παραμέτρηση της επιφάνειας M. Τότε η πρώτη θεμελιώδης μορφή καθορίζεται από τον πίνακα

( ) ( ) E F t ⟨Xu, Xu⟩ ⟨Xu, Xv⟩ F G = [DX ][DX ] = ⟨Xu, Xv⟩ ⟨Xv, Xv⟩ .
Είναι γνωστό ότι το σύνολο {Xu,Xυ} αποτελεί μια βάση του εφαπτόμενου χώρου της M στο σημείο X(u,υ) ∈ X(U). Χρησιμοποιούμε τη διαδικασία Gram-Schmidt, προκειμένου να πάρουμε μια ορθοκανονική βάση {Z,W} του εφαπτόμενου χώρου ως εξής: Θέτουμε
Xu-- Z = √E--
και
^ ⟨Xv,-Xu-⟩Xu- F- W = Xv - ⟨Xv,Z ⟩Z = Xv - ⟨Xu,Xu ⟩ = Xv - E Xu,
και τελικά είναι
√ -- ^W E F W = -^---= √---------2(Xv - E-Xu ). ∥W ∥ EG - F
Από τις παραπάνω εκφράσεις των διανυσμάτων Z και W προκύπτει ότι υπάρχουν συναρτήσεις a,b,c : U → ℝ, οι οποίες εξαρτώνται μόνο από τις συναρτήσεις E,F,G, έτσι ώστε
Z = aXu, W = bXu + cXv.
Ορίζουμε μια τοπική απεικόνιση Gauss N : X(U) → S2 ως
N = -Xu-×-Xv---= Z × W. ∥Xu × Xv ∥
Τότε το σύνολο {Z,W,N} αποτελεί μια (θετικά προσανατολισμένη) ορθοκανονική βάση του ℝ3 επί του ανοικτού X(U) ⊂ M (δηλαδή για κάθε (u,υ) ∈ U είναι N(X(u,υ)) ∈ X(U)). Συνεπώς, τα διανύσματα Zu,Zυ,Wu,Wυ θα γράφονται ως γραμμικός συνδυασμός των στοιχείων της βάσης αυτής ως εξής:
Zu = ⟨Zu,Z ⟩Z + ⟨Zu, W ⟩W + ⟨Zu, N ⟩N Zv = ⟨Zv,Z ⟩Z + ⟨Zv, W ⟩W + ⟨Zv, N⟩N Wu = ⟨Wu, Z⟩Z + ⟨Wu, W ⟩W + ⟨Wu, N⟩N Wv = ⟨Wv, Z⟩Z + ⟨Wv, W ⟩W + ⟨Wv, N ⟩N.
(Ελέγξτε τις παραπάνω ισότητες παίρνοντας διαδοχικά τα εσωτερικά γινόμενα των διανυσμάτων στο αριστερό μέλος με τα Z,W,N).

Επειδή τα διανύσματα Z,W έχουν μέτρο 1, παραγωγίζουμε τις ισότητες ⟨Z,Z⟩ = ⟨W,W⟩ = 1 διαδοχικά ως προς u και υ και παίρνουμε ότι

⟨Z ,Z⟩ = ⟨Z ,Z ⟩ = ⟨W ,W ⟩ = ⟨W ,W ⟩ = 0, u v u v
συνεπώς οι παραπάνω εκφράσεις των διανυσμάτων Zu,Zυ,Wu,Wυ απλουστεύονται ως εξής:
Zu = ⟨Zu,W ⟩W + ⟨Zu,N ⟩N (6.1) Zv = ⟨Zv,W ⟩W + ⟨Zv,N ⟩N (6.2) Wu = ⟨Wu, Z⟩Z + ⟨Wu, N ⟩N (6.3) Wv = ⟨Wv, Z⟩Z + ⟨Wv, N ⟩N . (6.4)
Στη συνέχεια, ο παρακάτω υπολογισμός δείχνει ότι η ποσότητα ⟨Zu,W⟩ είναι συνάρτηση των E,F,G : U → ℝ και ανάλογα αποδεικνύεται και για την ποσότητα ⟨Zυ,W⟩ (άσκηση):
⟨Zu, W ⟩ = ⟨(aXu )u,W ⟩ = ⟨auXu + aXuu,bXu + cXv⟩ = a bE + a cF + ab⟨X ,X ⟩+ ac⟨X ,X ⟩ u u uu v uu v = aubE + aucF + 1abEu + ac(Fu - 1-Ev). 2 2
Η απόδειξη θα τελειώσει εκφράζοντας την ποσότητα ⟨Zu,W⟩υ -⟨Zυ,W⟩u συναρτήσει της καμπυλότητας Gauss K και των E,F,G. Πράγματι, είναι
⟨Zu, W ⟩v - ⟨Zv,W ⟩u = ⟨Zuv,W ⟩+ ⟨Zu, Wv⟩ - ⟨Zvu,W ⟩- ⟨Zv, Wu ⟩ = ⟨Z ,W ⟩- ⟨Z ,W ⟩ u∘ --v-----v u = K EG - F2,
όπου στην τελευταία ισότητα χρησιμοποιήσαμε το παρακάτω λήμμα.

Συπεπώς, η καμπυλότητα Gauss της επιφάνειας M εκφράζεται ως

K = ⟨Zu,W√-⟩v---⟨Zv,W-⟩u, EG - F 2
δηλαδή εξαρτάται μόνο από τις συναρτήσεις E,F,G και τις παραγώγους αυτών και το θεώρημα αποδείχτηκε.

Λήμμα 6.1: Με τις παραπάνω υποθέσεις ισχύει η ισότητα

∘ --------2 ⟨Zu, Wv⟩ - ⟨Zv,Wu ⟩ = K EG - F .

Απόδειξη. ΄Εστω A = ( ) a11 a12 a a 21 22 ο πίνακας του τελεστή σχήματος SX(u,υ) ως προς τη βάση {Xu,Xυ}, όπου det(A) = a11a22 - a12a21 = K. Τότε έχουμε ότι

- Nu = a11Xu + a21Xv και - Nv = a12Xu + a22Xv,
(όπου θυμίζουμε ότι e = -⟨Nu,Xu⟩ = ⟨N,Xuu⟩ κλπ). Επίσης, είναι
⟨Nu × Nv,N ⟩ = ⟨(a11Xu + a21Xv )× (a12Xu + a22Xv ),N ⟩ = (a11a∘22 --a12a21)⟨Xu × Xv, N ⟩ = K⟨( EG - F 2)N, N ⟩ ∘ --------- = K EG - F 2.
Ταυτόχρονα όμως, παραγωγίζοντας κατάλληλα την ισότητα ⟨N,Z⟩ = ⟨N,W⟩ = 0 ως προς u και υ και λαμβάνοντας υπόψη τις σχέσεις (6.1)–(6.4) προκύπτει ότι
⟨Nu × Nv, N⟩ = ⟨Nu × Nv,Z × W ⟩ = ⟨Nu,Z ⟩⟨Nv, W ⟩- ⟨Nu, W ⟩⟨Nv,Z ⟩ = ⟨Zu,N ⟩⟨N, Wv ⟩- ⟨Wu, N ⟩⟨N,Zv ⟩ = ⟨Z ,W ⟩- ⟨Z ,W ⟩, u v v u
και το λήμμα αποδείχτηκε. ▄

Από την απόδειξη του θαυμαστού θεωρήματος προκύπτει και η εξής (αναμενόμενη πλέον) έκφραση της καμπυλότητας K συναρτήσει των E,F,G και των μερικών παραγώγων τους:

( ) ( ) - 12Evv + Fuv - 12Guu 12Eu Fu - 12Ev 0 12Ev 12Gu det|( Fv - 1 Gu E F |) - det|( 1Ev E F |) 1 2 21 K = --------------2Gv------------F-------G---------------2Gu----F-----G----- (EG - F 2)2

Ο Frobenius1 έδωσε στον τύπο αυτό την ακόλουθη συμμετρικότερη μορφή

( ) 1 | E Eu Ev| 1 [ ∂ ( Ev - Fu ) ∂ ( Fv - Gu ) ] K = --√--------24-det( F Fu Fv) - -√--------2- --- √--------2- - --- √--------2- 4( EG - F ) G Gu Gv 2 EG - F ∂v EG - F ∂u EG - F

Τέλος, στην ειδική περίπτωση που το δίκτυο των παραμετρικών γραμμών επί της επιφάνειας είναι ορθογώνιο (δηλαδή η παραμέτρηση της επιφάνειας είναι ορθογώνια), οπότε F = Fu = Fυ = 0, η παραπάνω σχέση γίνεται

[ ( √ --) ( √ -) ] --1--- -∂- -1--∂--G- -∂- -1--∂--E- K = - √EG--- ∂u √E-- ∂u + ∂v √G-- ∂v
(6.5)

΄Ολες οι προηγούμενες εκφράσεις είναι χρήσιμες για υπολογισμούς, ιδιαιτέρως όταν γίνεται χρήση υπολογιστή.

Το παρακάτω (δύσκολο) θεώρημα απαντά στο ερώτημα πώς σχετίζονται δύο επιφάνειες με ίσες την πρώτη και δεύτερη θεμελιώδη μορφή.

Θεώρημα 6.2: ΄Εστω M1,M2 δύο κανονικές επιφάνειες του ℝ3 και έστω ϕ : M1 → M2 μια αμφιδιαφόριση που διατηρεί την πρώτη και δεύτερη θεμελιώδη μορφή των M1 και M2 αντίστοιχα, δηλαδή ισχύει

Ip(X, Y) = Iϕ(p)(dϕp(X),dϕp(Y )) IIp(X, Y) = IIp(dϕp(X ),dϕp(Y ))
για κάθε p ∈ M1,X,Y ∈ TpM1. Τότε η ϕ : M1 → M2 είναι ο περιορισμός ϕ = Φ|M1 : M1 → M2 μιας στερεάς κίνησης Φ : ℝ3 → ℝ3 περιορισμένη στην επιφάνεια M1.

Ερώτημα-Προβληματισμός. Θα θέλαμε να προσκαλέσουμε τον αναγνώστη να προβληματιστεί κατά πόσον το αποτέλεσμα του Θαυμαστού Θεωρήματος είναι απόρροια κάποιων τυχαίων ‘ακροβασιών’ με παραγωγίσεις, ή υπάρχει κάποια βαθύτερη μαθηματική αιτιολόγηση πίσω από αυτό.

6.1 Λυμένα παραδείγματα

Παράδειγμα 6.1: Αν η πρώτη θεμελιώδης μορφή μιας επιφάνειας M δίνεται ως

1 2 2 I(u, v) = (u2-+-v2 --c2)2(du + dv ),
όπου c ∈ ℝ, αποδείξτε ότι η καμπυλότητα Gauss K αυτής είναι σταθερή.

Λύση

Από τη δοθείσα έκφραση της πρώτης θεμελιώδους μορφής έχουμε
E = G = ------1------, F = 0. (u2 + v2 - c2)2
΄Αρα το παραμετρικό δίκτυο της επιφάνειας είναι ορθογώνιο, κατά συνέπεια η θεμελιώδης εξίσωση του Gauss θα έχει τη μορφή (6.5), δηλαδή
[ ( √--) ( √ --) ] K = - √-1--- ∂-- √-1-∂--G- + ∂-- √1--∂--E- . EG ∂u E ∂u ∂v G ∂v
Αλλά είναι E = G, επομένως θα έχουμε
[ ( √ -) ( √--) ] 1- ∂-- -1--∂--E- ∂-- -1-∂--E- K = - E ∂u √E- ∂u + ∂v √E- ∂v .
(6.6)

Είναι όμως,

√ -- 1 1 2 2 2 E = u2 +-v2---c2 ⇒ √--= u + v - c E
άρα,
∂√E-- 2u ∂√E-- 2v -----= - --2----2---2-2, ----- = - --2---2---2-2- ∂u (u + v - c ) ∂v (u + v - c)
και
√ -- √ -- 1 ∂ E 2u 1 ∂ E 2v √----∂u--= -u2-+-v2 --c2 , √----∂v--= - u2-+-v2 --c2. E E
Επομένως,
( √ --) ( √--) -∂- -1--∂--E- 2u2---2v2 +-2c2 ∂-- -1-∂--E- 2v2 --2u2 +-2c2 ∂u √E-- ∂u = (u2 + v2 - c2) , ∂v √E- ∂v = (u2 + v2 - c2)2 .
(6.7)

Η σχέση (6.6), λόγω των σχέσεων (6.7) γίνεται

( ) 2 2 2 2 2u2---2v2 +-2c2 2v2---2u2 +-2c2 K = - (u + v - c ) (u2 + v2 - c2)2 + (u2 + v2 - c2)2 2 = - (u2 + v2 - c2)2-2-4c2---2-2 = - 4c2 = σταθερό, (u + v - c )
οπότε η επιφάνεια M είναι πράγματι σταθερής καμπυλότητας Gauss.

Παράδειγμα 6.2: Να βρεθούν οι τιμές της σταθεράς λ, ώστε η επιφάνεια της οποίας η πρώτη θεμελιώδης μορφή παίρνει την έκφραση

2 λ 2 λ 2 ds = v du + u dv ,
να έχει μηδενική καμπυλότητα.

Λύση

Από την έκφραση της πρώτης θεμελιώδους μορφής συμπεραίνουμε άμεσα ότι
E = vλ, F = 0, G = uλ.
(6.8)

Επομένως η έξίσωση της καμπυλότητας του Gauss θα δίνεται από την σχέση

[ ( √--) ( √ --) ] 1 ∂ 1 ∂ G ∂ 1 ∂ E K = - √----- ∂u- √----∂u-- + ∂v- √----∂v-- . EG E G
(6.9)

Από τις σχέσεις (6.8) τώρα εύκολα έχουμε ότι

√ -- √ -- √---- λ λ ∂--E- λ- λ- 1 ∂--G- λ-λ- 2 EG = u 2v2, ∂v = 2v2 , ∂u = 2u2 ,
οπότε
√-- √-1-∂--G- = λ-uλ2-1v- λ2, E ∂u 2
άρα
( √--) ( ) λ λ ∂-- √1-∂--G- = λ- λ-- 1 u 2-1v- 2. ∂u E ∂u 2 2
(6.10)

Επίσης, είναι

√ -- -1--∂--E- λ- - λ λ-1 √G- ∂v = 2u 2v2
( ) ∂ 1 ∂ √E- λ (λ ) λ λ --- √-------- = -- --- 1 u- 2v 2-2. ∂v G ∂v 2 2
(6.11)

Η σχέση (6.9) λοιπόν λόγω των (6.10), (6.11) και του γεγονότος ότι K = 0, γίνεται

( ) λ- λ- ( λ2- 2 - λ2 - λ2 λ2-1) 2 2 - 1 u v + u v = 0.
(6.12)

Η σχέση αυτή όμως ικανοποιείται για κάθε u,υ, δηλαδή είναι ταυτότητα ως προς τα u,υ. Κατά συνέπεια, έχουμε ότι

( ) λ- λ-- 1 = 0, 2 2
οπότε
λ = 0 ή λ = 2.
Στην πρώτη περίπτωση (λ = 0) τα θεμελιώδη ποσά πρώτης τάξης γίνονται E = 1,F = 0,G = 1, οπότε η πρώτη θεμελιώδης μορφή γράφεται
2 2 2 ds = du + dv ,
ενώ στη δεύτερη περίπτωση (λ = 2) τα αντίστοιχα θεμελιώδη ποσά πρώτης τάξης είναι E = υ2,F = 0,G = u2 και η πρώτη θεμελιώδης μορφή γράφεται
ds2 = v2du2 + u2dv2.

6.2 Ασκήσεις

1. Εκφράστε την ποσότητα ⟨Zυ,W⟩ στην απόδειξη του Θεωρήματος 6.1 ως συνάρτηση των E,F,G : U → ℝ.

2. ΄Εστω α ∈ (0,π2) και έστω Mα η επιφάνεια με τοπική παραμέτρηση Xα : ℝ+ × ℝ → M, με τιμή

θ θ X α(r,θ) = (r sin αcos(-----),r sin αsin(----),rcos α). sinα sin α
ϒπολογίστε την καμπυλότητα Gauss K της Mα.

3. ΄Εστω M μια κανονική επιφάνεια και έστω X : U → M μια ορθογώνια παραμέτρηση, δηλαδή τέτοια ώστε F = 0. Αποδείξτε ότι η καμπυλότητα Gauss δίνεται από την έκφραση

( ( ) ( ) ) K = - -√-1--- ∂-- √-Ev-- + -∂- √Gu--- . 2 EG ∂v EG ∂u EG

4. ΄Εστω M μια κανονική επιφάνεια και έστω X : U → M μια ισοθερμική παραμέτρηση, δηλαδή τέτοια ώστε F = 0 και E = G. Αποδείξτε ότι η καμπυλότητα Gauss δίνεται από την έκφραση

( ) 1-- ∂2-- -∂2- K = - 2E ∂u2(lnE )+ ∂v2 (ln E) .
Εναλλακτικά, η παραπάνω έκφραση γράφεται ως
K = - -1-∇2(lnE ), 2E
όπου η συνάρτηση ∇2f ονομάζεται ο τελεστής Laplace της f.

Κάντε εφαρμογή για τις περιπτώσεις όπου

4 4 1 E = (1-+-u2-+-v2)2-, E = (1---u2 --v2)2, E = u2.

5. Αποδείξτε ότι η καμπυλότητες Gauss των επιφανειών M1,M2 με αντίστοιχες παραμετρήσεις

X (u,v) = (u cosv,usinv,v) Y (u,v) = (u cosv,usinv,lnu )
είναι ίσες, εντούτοις οι επιφάνειες έχουν διαφορετικές πρώτες θεμελιώδεις μορφές. Συνεπώς, το αντίστροφο του Πορίσματος 6.1 δεν ισχύει.

6. Εξετάστε αν υπάρχει παραμετρημένη επιφάνεια με E = G = 1, F = 0, e = 1 = -g, f = 0.

Βιβλιογραφία

[1]   M. Abate and F. Torena, Curves and Surfaces, Springer 2012.

[2]   C. Bär Elementary Differential Geometry, Cambridge Univ. Press 2010.

[3]   M. P. do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall 1976.

[4]   J. Oprea, Differential Geometry and Its Applications, The Mathematical Assocation of America, 2007.

[5]   Β. Ι. Παπαντωνίου, Διαφορική Γεωμετρία, Εκδ. Πανεπιστ. Πατρών, Πάτρα, 2013.

[6]   A. Pressley, Elementary Differential Geometry, Second Edition, Springer 2010. Μετάφραση: Στοιχειώδης Διαφορική Γεωμετρία, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Κρήτη 2012.

[7]   C. F. Gauss, General Investigations of Curved Surfaces of 1827 and 1825, The Princeton University Library, 1902.

[8]   C. F. Gauss, General Investigations Of Curved Surfaces Unabridged, Wexford College Press, 2007.

[9]   C. F. Gauss, General Investigations of Curved Surfaces, Dover Publications, 2005.